Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為等邊三角形，D，E分別是BC，CA的中點．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=2，求三棱錐P-ABC的體積．
（Ⅲ）在BC上是否存在一點F，使AD∥平面PEF？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：由條件可得平面PAC⊥平面ABC．由于E是CA的中點，BE⊥AC，利用平面和平面垂直的性質定理可得BE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PA=AB=2，根據三棱錐P-ABC的體積 V=

1

3

•S_△ABC•PA=

1

3

（

1

2

AB•AC•sinA）PA，運算求得結果．
（Ⅲ）在BC上是存在F為CD的中點，使AD∥平面PEF．根據三角形的中位線的性質以及直線和平面平行的判定定理可證得AD∥平面PEF．

解答：解：（Ⅰ）證明：由 PA⊥底面ABC，PA?平面PAC，
可得平面PAC⊥⊥平面ABC．
由于E是CA的中點，△ABC為等邊三角形，∴BE⊥AC．
再由BE?平面ABC，平面 ABC∩平面PAC=AC，∴BE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PA=AB=2，則三棱錐P-ABC的體積 V=

1

3

•S_△ABC•PA=

1

3

（

1

2

AB•AC•sinA）PA=

1

3

（

1

2

×2×2×

3

2

）×2=

2 3

3

．
（Ⅲ）在BC上是存在一點F，且F為CD的中點，使AD∥平面PEF．
證明：∵E、F分別為AC、CD的中點，∴EF∥AD．
由于 EF?平面PEF，AD?平面PEF，∴AD∥平面PEF．

點評：本題主要考查平面和平面垂直的性質定理的應用，求棱錐的體積，直線和皮平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題．