Question

（2007•青島一模）已知f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在區間（-1，1）上為減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若y=f（x）的極大值點與極小值點之差為2a-3，試求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）在區間（-1，1）上為減函數，則f'（x）≤0在區間（-1，1）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導數求出函數的極大值和極小值，然后由極大值點與極小值點之差為2a-3，求a．

解答：解：（I）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3…（2分）
因為f（x）在區間（-1，1）上為減函數，所以f'（x）≤0在區間（-1，1）上恒成立；
∵f'（x）是開口向上的拋物線，故只須

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

⇒-

1

4

≤a≤

1

4

…（5分）
（II）f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3；

由f′(x)=2x2-4ax-3=0 ⇒x1=a- 1 2 4a2+6 ，x2=a+ 1 2 4a2+6 ，

且x₁＜x₂…（7分）
于是f'（x）=2x²-4ax-3=2（x-x₁）（x-x₂）
當x∈（-∞，x₁）時，f'（x）＞0，∴f（x）為增函數；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，∴f（x）為減函數；
當x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）為增函數；…（10分）
所以x₁為極大值點，x₂為極小值點，
故x1-x2=(a-

1

2

4a2+6

)-(a+

1

2

4a2+6

)=-

4a2+6

=2a-3⇒a=

1

4

…（12分）

點評：本題主要考查函數的單調性與極值之間的關系，要求熟練掌握導數的應用．