Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為F（1，0），直線l經過點F且與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個動點，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點S，使為常數，若存在，求出定點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的右焦點為F（1，0），可求c值，再根據離心率為，可求出a的值，由a，b，c的關系得到b，則橢圓的方程就能求出．
（2）把|PO|²+|PF|²用P點坐標表示，再根據P點在橢圓上，橫縱坐標有范圍，就可得到|PO|²+|PF|²的最大值和最小值．
（3）因為直線l繞點F轉動，可設出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯立，設S點坐標，代入計算，若計算結果為常數，則存在，否則，不存在．
解答：解：（1），所以橢圓方程
（2）設，
即2y²=2-x²，F（1，0）|PO|²+|PF|²=x²+y²+（x-1）²+y²=2y²+x²+（x-1）²=（x-1）²+2
而2y²=2-x²≥0，∴
當x=1時，（|PO|²+|PF|²）_min=2，當時，
（3）①若直線l斜率存在時，設l方程為y=k（x-1）
由消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設S（t，0）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）

=（λ為常數）
即2（k²+1）（k²-1）-4k²（t+k²）+（1+2k²）（t²+k²）=λ（1+2k²）（2t²-4t-2λ+1）k²+t²-λ-2=0
由，解得
②若斜率κ不存在時，、S（t，0）=
綜上得，存在，使．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，屬于常規題，應當掌握．