Question

小王經營一家面包店，每天從生產商處訂購一種品牌現烤面包出售.已知每賣出一個現烤面包可獲利10元，若當天賣不完，則未賣出的現烤面包因過期每個虧損5元.經統計，得到在某月（30天）中，小王每天售出的現烤面包個數及天數如下表：

售出個數	10	11	12	13	14	15
天數	3	3	3	6	9	6

試依據以頻率估計概率的統計思想，解答下列問題：
（1）計算小王某天售出該現烤面包超過13個的概率；
（2）若在今后的連續5天中，售出該現烤面包超過13個的天數大于3天，則小王決定增加訂購量.試求小王增加訂購量的概率.
（3）若小王每天訂購14個該現烤面包，求其一天出售該現烤面包所獲利潤的分布列和數學期望.

Answer 1

（1）0.5；（2）；（3）分布列為

利潤	80	95	110	125	140
概率	0.1	0.1	0.1	0.2	0.5

 
數學期望為123.5元.

解析試題分析：（1）由于小王某天售出該現烤面包超過13個的情況有三種：恰14個和恰15個，由題中表格易得：小王某天售出該現烤面包恰14個和恰15個的概率分別為，再由小王某天售出該現烤面包恰14個和恰15個這兩個事件是互斥的，所以小王某天售出該現烤面包超過13個的概率就等于上述兩個概率之和為：0.3+0.2=0.5．
（2）設在最近的5天中售出超過13個的天數為，由于每天售出的個數要么超過13個，要么不超過13個只有這兩種結果，且兩種結果發生與否互相對立，并且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變各為0.5，所以服從參數為5和0.5的二項分布，即，從而事件“小王增加訂購量”的概率，即是>3的概率,而,再由二項分布的概率公式可算得事件“小王增加訂購量”的概率；
（3）由于小王每天訂購14個現烤面包，則可設其一天的利潤為元，由已知求出的所有可能取值，并結合題只所給條件可得到的每一個可能取值的概率，從而求得其分布列，在由數學期望公式：就可求得所獲利潤的數學期望．
試題解析：（1）記事件A=“小王某天售出超過13個現烤面包”，  1分
用頻率估計概率可知：
.   2分
所以小王某天售出超過13個現烤面包的概率為0.5.  3分
（2）設在最近的5天中售出超過13個的天數為，
則.    ..5分
記事件B=“小王增加訂購量”，
則有，
所以小王增加訂購量的概率為.     8分
（3）若小王每天訂購14個現烤面包，設其一天的利潤為元，則的所有可能取值為80，95，110，125，140.    9分
其分布列為

利潤	80	95	110	125	140
概率	0.1	0.1	0.1	0.2	0.5

                                                        11分
則
所以小王每天出售該現烤面包所獲利潤的數學期望為123.5元.   ..13分
考點：1.概率和公式;2.二項分布;3.分布列與數學期望.