Question

如圖，已知橢圓的左頂點、右焦點分別為A、F，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）設過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及所給圖形，先把點A，F具體，再把點N設出，利用條件解出t，求出k_AM•k_M若為-1，即可證明；
（2）由題意先設出圓的方程，在利用圓過A，F，N三點，寫出圓的方程，由于圓與y軸交于P，Q兩點，所以可以令圓的方程中x=0，寫出兩點坐標利用兩點間的距離公式進而求解．
解答：（1）證明：由已知，A（-3，0），F（2，0），設，
則在橢圓上，得；
∴，∴，，
∴k_AM•k_MF=-1，即AM⊥MF；
（2）解：設圓方程為x²+y²+dx+ey+f=0，將A，F，N三點的坐標代入得：，
∴圓方程為，令x=0，得：y²+ey-6=0，
設P（0，y₁），Q（0，y₂），∴，∴PQ的最小值為．
點評：（1）此問重點考查了利用方程的思想，還考查了利用兩條直線的斜率互為負倒數證明直線垂直；
（2）此問重點考查了利用方程的思想進行求解，還考查了利用一元二次函數求解最值及兩點間的距離公式．