Question

已知函數的圖象過點（-1，-6），且函數的圖象關于y軸對稱．

（Ⅰ）求m、n的值及函數y=f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若a＞0，求函數y=f（x）在區間（a-1，a+1）內的極值．

Answer 1

解：（1）由函數f（x）圖象過點（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n;

而g（x）圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0．

于是f′（x）＝3x²-6x=3x（x-2）．

由f′（x）>0得x>2或x<0,

故f（x）的單調遞增區間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′（x）<0得0<x<2,

故f（x）的單調遞減區間是（0，2）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）＝3x（x-2）,

令f′（x）＝0得x=0或x=2．

當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞．0）	0	（0,2）	2	（2,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	＋
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由此可得：

當0<a<1時，f（x）在（a-1,a+1）內有極大值f（0）=-2,無極小值；

當a=1時，f（x）在（a-1,a+1）內無極值；

當1<a<3時，f（x）在（a-1,a+1）內有極小值f（2）＝－6，無極大值；

當a≥3時，f（x）在（a-1,a+1）內無極值．

綜上得：當0<a<1時，f（x）有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f（x）有極小值－6，無極大值；當a=1或a≥3時，f（x）無極值．