Question

（2013•廣州一模）函數(shù)y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）是（　　）

• A．奇函數(shù)且在[0，

  π

  2

  ]上單調(diào)遞增
• B．奇函數(shù)且在[

  π

  2

  ，π]上單調(diào)遞增
• C．偶函數(shù)且在[0，

  π

  2

  ]上單調(diào)遞增
• D．偶函數(shù)且在[

  π

  2

  ，π]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為-cos2x，可得函數(shù)為偶函數(shù)，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出結(jié)論．

解答：解：由于函數(shù)y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函數(shù)為偶函數(shù)，
故排除A、B．
令 2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得 kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，k∈z，
故選C．

點評：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，屬于中檔題．