Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，O′、O分別為上、下底面的圓心，E為上底面圓周上一點，已知∠DO′E=60°，圓柱側面積等于16π．
（1）求圓柱的體積V；
（2）求異面直線BE與DO所成角θ的大�。�

Answer 1

分析：由題設條件可設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r，根據圓柱側面積等于16π建立方程求出底面半徑r，即可求得圓柱的高
（1）圓柱高與底面半徑已知，故代入公式求體積即可；
（2）連接O′B，可證得角O′BE兩異面直線所成的角，在三角形中求之即可．

解答：解：（1）設圓柱的底面半徑為r，由題意，得2πr×2r=16π
解得：r=2．∴V=πr²×2r=16π．
（2）連接O′B，由于O′B∥DO，
所以，∠EBO′即為BE與DO所成角θ，
過點E作圓柱的母線交下底面于點F，連接FB，FO，
由圓柱的性質，得△EFB為直角三角形，四邊形EO′OF為矩形，BO′=DO=2

5

，
由∠DO′E=60°，由等角定理，得∠AOF=60°
所以，∠BOF=120°
可解得，BF=2

3

在Rt△EFB中，BE=

EF2+FB2

=2

7

由余弦定理，cosθ=

BE2+BO′2-EO′2

2×BO×EO′

=

11 35

70

．
∴θ=arccos

11 35

70

．

點評：本題考查圓柱的體積公式以及異面直線所成角的求法，注意求異面直線所成角的步驟：作角，證角，求角，尤其是第二步證角不可少，易疏漏，做題時要留心，注意解題步驟的完整性．