Question

某生產(chǎn)飲料的企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷,在一年內(nèi),預(yù)計(jì)年銷量Q(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元.若每件售價(jià)為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.

(1)試將利潤(rùn)y(萬元)表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù).如果年廣告費(fèi)投入100萬元,企業(yè)是虧損還是盈利?

(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)年利潤(rùn)最大?

Answer 1

思路分析：因?yàn)槟昀麧?rùn)y=(年收入)-(年成本)-(年廣告費(fèi))，所以就把年利潤(rùn)表示成年廣告費(fèi)的函數(shù)關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求出最值.

解：(1)由題意,每年產(chǎn)銷Q萬件,共計(jì)成本為(32Q+3)萬元.

銷售收入是(32Q+3)·150%+x·50%.

∴年利潤(rùn)y=(年收入)-(年成本)-(年廣告費(fèi))=(32Q+3-x)=(32×+3-x)=(x+1)(x≥0).

∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=(x+1)(x≥0).

當(dāng)x=100時(shí),y＜0,即當(dāng)年廣告費(fèi)投入100萬元時(shí),企業(yè)虧損.

(2)由y=(x+1)(x≥0)可得

y′==0.

令y′=0,則x²+2x-63=0.

∴x=-9(舍去)或x=7.

又x∈(0,7)時(shí),f′(x)＞0；x∈(7,+∞)時(shí),f′(x)＜0,

∴f(x)_極大值=f(7)=42.

又∵在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),

∴f(x)_max=f(x)_極大值=f(7)=42.

故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí),企業(yè)年利潤(rùn)最大.