Question

設函數f（x）=x²+aIn（1+x）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（I）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調性；
（II）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），令g（x）=2x²+2x+a，由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，建立不等關系解之即可，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間；
（2）x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關于x₂的函數，研究函數的單調性求出函數的最大值，即可證得不等式．
解答：解：（I）
令g（x）=2x²+2x+a，其對稱軸為．
由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，
其充要條件為，得
（1）當x∈（-1，x₁）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）內為增函數；
（2）當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）內為減函數；
（3）當x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）內為增函數；
（II）由（I），a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
設，
則h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）當時，h'（x）＞0，∴h（x）在單調遞增；
（2）當x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調遞減．∴
故．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值等有關知識，屬于基礎題．