Question

已知數列{a_n}滿足a1=1，an+1=

a 2 n

2an+1

(n∈N*)
（I）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）記bn=

1

log2( an+1 an )

，若對于任意正整數n都有1-2nsinbn+1＜

1

2n+1

+λ2n成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）直接利用遞推公式，令n=1，n=2計算
（Ⅱ）原式兩邊取倒數，

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

⇒

1

an+1

+1=(

1

an

+1)2，再取對數，構造出lg(

1

an

+1)=2n-1lg(1+1)．據此求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）bn=

1

log2( an+1 an )

=

1

log222n-1

=

1

2n-1

，分離常數，變為λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的單調性確定它的最大值．

解答：解：（I）a2=

1

2×1+1

=

1

3

，a3=

( 1 3 )2

2× 1 3 +1

=

1

15

（Ⅱ）原式兩邊取倒數，則

1

an+1

=

2an+1

an2

=

2

an

+

1

an2

⇒

1

an+1

+1=(

1

an

+1)2
上式兩邊取對數，則lg(

1

an+1

+1)=2lg(

1

an

+1)⇒lg(

1

an

+1)=2n-1lg(1+1)
解得an=

1

22n-1-1

（Ⅲ）bn=

1

log2( an+1 an )

=

1

log222n-1

=

1

2n-1

由題中不等式解得，λ＞

1-2nsin 1 2n - 1 2n+1

2n

=

1

2n

-sin

1

2n

-

1

22n+1

對于任意正整數均成立
注意到

1

2n

∈(0，

1

2

]，構造函數f(x)=x-sinx-

1

2

x2，x∈(0，

1

2

]
則f′(x)=1-cosx-x，x∈(0，

1

2

]設函數g(x)=1-cosx-x，x∈(0.

1

2

]
由g'（x）=sinx-1＜0對x∈(0，

1

2

]成立，得g（x）=1-cosx-x為(0，

1

2

]上的減函數，
所以g（x）_max＜g（0）=0即f'（x）＜0對x∈(0，

1

2

]成立，因此f（x）為(0，

1

2

]上的減函數，
即f（x）_max＜f（0）=0，故λ≥0

點評：本題主要考查數列通項公式求解、不等式恒成立問題．用到對數的運算、函數與導數知識，需具有轉化構造能力、計算能力、分析解決問題能力．