Question

設m是常數，集合M={m|m＞1}，f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)
（1）證明：當m∈M時，f（x）對所有的實數x都有意義；
（2）當m∈M時，求函數f（x）的最小值；
（3）求證：對每個m∈M，函數f（x）的最小值都不于1．

Answer 1

分析：（1）化簡函數的解析式為f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，m＞1時，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，故f（x）的定義域為R．
（2）設U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，由于y=log₃U是增函數，故當U最小f（x）最小，再由U的最小值為m+

1

m-1

，求得f（x）的最小值．
（3）根據m∈M時，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，從而證得函數f（x）的最小值都不小于1．

解答：解：（1）f(x)=log3[(x-2m)2+m+

1

m-1

]，
當m∈M，即 m＞1時，(x-2m)2+m+

1

m-1

＞0恒成立，
故f（x）的定義域為R．
（2）設U=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

，
∵y=log₃U是增函數，
∴當U最小時f（x）最小．
而U=(x-2m)2+m+

1

m-1

，顯然當x=2m時，U的最小值為m+

1

m-1

，
此時f(x)min=log3(m+

1

m-1

)．
（3）m∈M時，m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1≥2+1=3，當且僅當m-1=1時，即m=2時，等號成立，
所以log3(m+

1

m-1

)≥log3=1，即函數f（x）的最小值都不小于1．

點評：本題主要考查基本不等式在最值問題中的應用，對數函數的圖象性質的應用，屬于中檔題．