Question

已知一組拋物線y=

1

2

ax²+bx+1，其中a為2、4、6、8中任取的一個數，b為1、3、5、7中任取的一個數，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的概率是（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  7

  60

• C、

  6

  25

• D、

  5

  16

Answer 1

分析：這一組拋物線共4×4條，從中任意抽取兩條共有C₁₆²種不同的方法．它們在與直線x=1交點處的切線的斜率k=y'|_x=1=a+b．討論a+b=5，a+b=7，a+b=9，a+b=11，a+b=13，由分類計數原理知任取兩條切線平行的情形，根據古典概型公式得到結果．

解答：解：由題意知這一組拋物線共4×4=16條，
從中任意抽取兩條共有C₁₆²=120種不同的方法．
它們在與直線x=1交點處的切線的斜率k=y'|_x=1=a+b．
∵若a+b=5，有兩種情形，從中取出兩條，有C₂²種取法；
若a+b=7，有三種情形，從中取出兩條，有C₃²種取法；
若a+b=9，有四種情形，從中取出兩條，有C₄²種取法；
若a+b=11，有三種情形，從中取出兩條，有C₃²種取法；
若a+b=13，有兩種情形，從中取出兩條，有C₂²種取法．
由分類計數原理知任取兩條切線平行的情形共有C₂²+C₃²+C₄²+C₃²+C₂²=14種，
∴所求概率為

7

60

．
故選B．

點評：高中必修中學習了幾何概型和古典概型兩種概率問題，解題時，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數．再看是不是幾何概型，它的結果要通過長度、面積或體積之比來得到．