Question

(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．

(1) 求異面直線AB與MD所成角的大小；

(2) 求平面OAB與平面OCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

作AP⊥CD于點P，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，

P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)．

(1) ＝(1,0,0)，＝，

則cos〈，〉＝－，

故AB與MD所成角為.(4分)

(2) ＝，＝，

設(shè)平面OCD的法向量n＝(x，y，z)，

則n·＝0，n·＝0，

即

取z＝，則n＝(0,4，)．(6分)

易得平面OAB的一個法向量為m＝(0,1,0)，

cos〈n，m〉＝，(9分)

故平面OAB與平面OCD所成二面角的平面角余弦值為.(10分)