Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(sinx-cosx)．
（1）求它的定義域和值域；
（2）求它的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）令對數(shù)的真數(shù)大于0求出x的范圍為定義域，據(jù)三角函數(shù)的有界性求出值域．
（2）函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，據(jù)符號函數(shù)的單調(diào)性同增異減，外函數(shù)是減函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的遞增區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)的遞減區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間
（3）判斷函數(shù)的奇偶性先看定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．
（4）據(jù)函數(shù)最小正周期的定義，求出周期．

解答：解：（1）由題意得sinx-cosx＞0即

2

sin(x-

π

4

)＞0，從而得2kπ＜x-

π

4

＜ 2kπ+π，
∴函數(shù)的定義域為(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)（k∈Z）．
∵0＜sin(x-

π

4

)≤1，
故0＜sinx-cosx≤

2

，所以函數(shù)f（x）的值域是[-

1

2

，+∞)．
（2）∵(sinx-cosx)=

2

sin(x-

π

4

)
令2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

令2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

解得2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

結(jié)合函數(shù)的定義域知
單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

)（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間是(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

)（k∈Z）．
（3）因為f（x）定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點不關(guān)于原點對稱，
故f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（4）∵f(x+2π)=log

1

2

[(sin(x+2π)-cos(x+2π)]=f（x），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．