Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點．
（Ⅰ）求證直線AB恒過一個定點；
（Ⅱ）求動弦AB的中點P的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設Q（a，0），由題意知M，A，Q，B四點共圓，直徑為MQ，設R（x，y）是該圓上任一點，
由•=0得，x（x-a）+（y-2）y=0，即x²+y²-ax-2y=0．①
①式與x²+（y-2）²=1聯立，消去x²+y²項得兩圓公共弦AB的方程為-ax+2y=3，
∴無論a取何值，直線AB恒過點（0，）．
（Ⅱ）解：連接MB，MQ，設P（x，y），Q（a，0），點M、P、Q在一條直線上，當a≠0時，得=．②
由射影定理有|MB|²=|MP|•|MQ|，即•=1．③
由②及③消去a，并注意到y＜2，可得x²+（y-）²=（y＜2）．
當a=0時，P點為（0，），滿足方程x²+（y-）²=（y＜2）．
∴中點P的軌跡方程為x²+（y-）²=（y＜2）．
分析：（Ⅰ）由題意知M，A，Q，B四點共圓，直徑為MQ，由•=0求出圓的方程與x²+（y-2）²=1聯立，消去x²+y²項得兩圓公共弦AB的方程，即可證得直線AB恒過定點；
（Ⅱ）利用點M、P、Q在一條直線上，結合由射影定理，可得中點P的軌跡方程．
點評：本題考查圓的方程，考查直線過定點，考查軌跡方程的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．