Question

已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；
（3）證明：

n

k=2

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

(n∈N+，n≥2)
（參考數據：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導函數，然后根據在某點取極值的意義可知f'（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，則x²-3x+lnx+b=0，設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況，方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，則g（x）_最小值=g（1）=b-2＜0，g（

1

2

）＞0，g（2）＞0，解之即可；
（3）設Φ（x）=lnx-

1

4

（x²-1），研究函數Φ（x）在[2，+∞）上的單調性，可得Φ（x）≤Φ（2）=ln2-

3

4

＜0?lnx＜

1

4

（x²-1），從而當x≥2時，

1

lnx

＞

4

x2-1

=

4

(x+1)(x-1)

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)，從而得到結論．

解答：解：（1）f'（x）=1-

1

x+a

，由題意，得f'（1）=0?a=0…（2分）
（2）由（1）知f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x²+b     x-lnx+2x=x²+b     x²-3x+lnx+b=0
設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0）
則g'（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

    …（4分）
當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	b-2+ln2

當x=1時，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（

1

2

）=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根
由

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0，g(2)≥0

?

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0，b-2+ln2≥0

?

5

4

+ln2≤b≤2                      （8分）
（3）∵k-f（k）=lnk
∴

1

k-f(k)

＞

3n2-n-2

n(n+1)

?

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）
設Φ（x）=lnx-

1

4

（x²-1）
則Φ'（x）=

1

x

-

x

2

=

2-x2

2x

=-

(x+ 2 )(x- 2 )

2x

當x≥2時，Φ'（x）＜0?函數Φ（x）在[2，+∞）上是減函數，
∴Φ（x）≤Φ（2）=ln2-

3

4

＜0?lnx＜

1

4

（x²-1）
∴當x≥2時，

1

lnx

＞

4

x2-1

=

4

(x+1)(x-1)

=2(

1

x-1

-

1

x+1

)
∴

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞2[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=2（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）
=

3n2-n-2

n(n+1)

．
∴原不等式成立．（12分）

點評：本題主要考查函數的極值以及根的存在性及根的個數判斷，同時考查了利用構造函數法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度．