【題目】如圖,在三棱柱中,
是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面
⊥平面
,
.
(1)求證: ⊥平面ABC;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段存在點(diǎn)
,使得
,并求
的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)
【解析】試題分析:(1)由題意,可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明,因?yàn)槠矫?/span>垂直于平面
,且交線為
,又
,從而問(wèn)題可得證;在(2)、(3)由題意,可采用坐標(biāo)法,再通過(guò)向量的共線、垂直關(guān)系,以及數(shù)量積等的運(yùn)算,從而問(wèn)題可得解.
試題解析:(1)證明 在正方形中,
.
又平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
.
(2)解:由(1)知,
,由題意知,
在中,
,
∴,
∴.
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
,
于是 ,
,
,
,
設(shè)平面法向量為
,
令
與平面所成角正弦值為
.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)是直線
上一點(diǎn),使
,且
.
,解得
,
,
又,∴0+3(3-3λ)-16λ=0,解得
,
因?yàn)?/span>,所以在線段
上存在點(diǎn)D,使得
.此時(shí)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓滿足:①圓心在第一象限,截
軸所得弦長(zhǎng)為2;②被
軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為
;③圓心到直線
的距離為
.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線
上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
分別做圓
的兩條切線,切點(diǎn)分別為
,
,求證:直線
過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
:
(
)的離心率是
,拋物線
:
的焦點(diǎn)
是
的一個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是
上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,
在點(diǎn)
處的切線
與
交于不同的兩點(diǎn)
,
,線段
的中點(diǎn)為
,直線
與過(guò)
且垂直于
軸的直線交于點(diǎn)
.
(i)求證:點(diǎn)在定直線上;
(ii)直線與
軸交于點(diǎn)
,記△
的面積為
,△
的面積為
,求
的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若滿足:對(duì)任意的
,都有
恒成立,試確定實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若圖,在正方體中,
分別是
的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)在棱上是存在一點(diǎn)
,使得
平面
,若存在,求
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是橢圓
上任一點(diǎn),點(diǎn)
到直線
的距離為
,到點(diǎn)
的距離為
,且
.直線
與橢圓
交于不同兩點(diǎn)
(
都在
軸上方),且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)為橢圓與
軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線
方程;
(3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論
如何變化,直線
總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在銳角三角形ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且
(1)求角C的大小;
(2)若 ,且三角形ABC的面積為
,求
的值.
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