Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直BE∥CF ,∠BCF=∠CEF=90°,AD=

（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

方法一：

    （Ⅰ）證明：過點E作EG⊥CF并CF于G，連結DG，可得四邊形BCGE為矩形。

又ABCD為矩形，

所以AD∥EG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG。

因為AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結AH。

          由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

         AB⊥平面BEFC，

      從而AH⊥EF，

      所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角。

      在Rt△EFG中，因為EG=AD=

      又因為CE⊥EF，所以CF=4，

      從而       BE=CG=3。

     于是BH=BE?sin∠BEH =

     因為AB=BH?tan∠AHB,

     所以當AB為時，二面角A-EF-G的大小為60°.

方法二：

如圖，以點C為坐標原點，以CB、CF和CD分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz.

設AB=a,BE=b,CF=c,

則C（0，0，0），A（

（Ⅰ）證明：

      所以

      所以CB⊥平面ABE。

      因為GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

故AE∥平面DCF

（II）解：因為，

所以，從而

解得b＝3，c＝4．

所以．

設與平面AEF垂直，

則      ，

解得    ．

又因為BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到   ．

所以當AB為時，二面角A－EF－C的大小為60°．