Question

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列3個函數：
①f（x）=x³
②f（x）=e^x
③f(x)=cos

π

2

x
其中存在“穩定區間”的函數有（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：根據“穩定區間”的定義，可以得到函數的定義域和值域相同．

解答：解①若f（x）=x³函數單調遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

a3=a b3=b

，所以當a=0，b=1時滿足條件，即此時的穩定區間為[0，1]，所以①正確．
②若f（x）=e^x函數單調遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ea=a eb=b

，即a，b是方程e^x=x的兩個根，作出函數y=e^x和y=x的圖象，由圖象可知兩個圖象沒有公共點，所以②不存在穩定區間．
③由余弦型函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數f(x)=cos

π

2

x的一個穩定區間，所以③正確．
故選B．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“穩定區間”時，利用函數的性質、圖象結合是解答本題的關鍵．