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若a=
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
+
1
110
+
1
132
+
1
156
，且sinθ=a，（θ∈[0，
π
2
]），則tan
θ
2
=
 
分析：由已知利用裂項求和可求a=
12
13
=sinθ，再用同角的平方關系，求cosθ=
5
13
，再運用tan
θ
2
=
sinθ
1+cosθ
解答：解：∵a=
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
30
+
1
42
+…+
1
156

=
1
1×2
+
1
2×3
+ …+
1
12×13

=1-
1
2
+ 
1
2
-
1
3
+…+
1
12
-
1
13

=1-
1
13
=
12
13

∴sinθ=
12
13
，θ∈[0，
π
2
]，cosθ=
5
13

tan
θ
2
=
sinθ
1+cosθ
=
12
13
1+
5
13
=
2
3

故答案為：
2
3
．
點評：本題綜合考查了裂項求和求數列的和，利用同角平方關系由正弦求余弦及半角公式tan 
θ
2
=
sinθ
1+cosθ
，這也是高考考查的方向．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：
日    期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
溫差x（°C） 10 11 13 12 8
發芽數y（顆） 23 25 30 26 16
該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程
y
=bx+a；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

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科目：高中數學 來源： 題型：

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
晝夜溫差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就診人數y（人） 22 25 29 26 16 12
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗．
（Ⅰ）求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；
（Ⅱ）若選取的是1月與6月的兩組數據，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅲ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？

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科目：高中數學 來源： 題型：

某興趣小組研究某城市霧霾等極端天氣發生次數與患呼吸道疾病人數多少之間的關系，他們分別到氣象局和某醫院抄錄了1至6月份的霧霾等極端天氣發生次數情況與患呼吸道疾病而就診的人數，得到如下數據：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月
霧霾等極端天氣發生次數x（次） 10 11 13 12 8 6
患呼吸道疾病就診人數y（人） 22 25 29 26 16 12
該興趣小組確定的研究方案是：先從6組數據中選取2組，用剩下的4組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗線性回歸方程是否理想．
（Ⅰ）若選出的是1月份和6月份兩組數據進行檢驗，請根據2至5月份的數據，求出y關于x的線性回歸方程
?
y
=
?
b
x+
?
a
；
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人，則認為得到是線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？并寫出具體判斷過程．
參考公式：
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，
?
a
=
.
y
-
?
b
.
x
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發芽數，得到如下資料：
日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日
溫差x（℃） 10 11 13 12 8
發芽y（顆） 23 25 30 26 16
該農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取3組數據求線性回歸方程，剩下的2組數據用于回歸方程檢驗．
參考公式：回歸直線的方程是：
?
y
=bx+a，其中b=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，a=
.
y
-b
.
x
；其中
?
y
i是與xi對應的回歸估計值．
（Ⅰ）若選取的是12月1日與12月5日的2組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程
?
y
=bx+a；
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅰ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（Ⅲ） 請預測溫差為14℃的發芽數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3+ax2-2x+5，
（1）若函數f（x）在（-
2
3
，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，求實數a的值；
（2）是否存在實數a，使得f（x）在（-2，
1
6
）上單調遞減，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若a=-
1
2
，當x∈（-1，2）時不等式f（x）＜m有解，求實數m的取值范圍．

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