Question

已知函數f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性；
（Ⅲ）證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為f（x）在x=0時取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數的遞增區間；令f′（x）＜0得到函數的遞減區間即可；（Ⅲ）由（2）知當a=-1時函數為減函數，所以得到ln（1+x²）＜x，利用這個結論根據對數的運算法則化簡不等式的左邊得證即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

2x

1+x2

+a，因為x=0是f（x）的一個極值點，∴f'（0）=0，∴a=0驗證知a=0符合條件．------------2分
（Ⅱ）因為f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

1）若a=0時，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
2）若

a＜0 △≤0

得，當a≤-1時，f′(x)≤0對x∈R恒成立，∴f（x）在R上單調遞減；
3）若-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調遞增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調遞減；
綜上所述，若a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，
若-1＜a＜0時，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調遞增，(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調遞減
若a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減
當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x²）＜x
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)…(1+

1

22n

)＜e---------------------13分

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，以及會用待定系數法求函數解析式，會利用單調性及對數函數運算證明不等式．會求等比數列的前n項的和．以及利用導數研究函數極值的能力．