Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x-1

的定義域為（1，+∞）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞1）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用兩個函數(shù)商的求導(dǎo)法則，結(jié)合定義域（1，+∞），判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)即可；
（2）結(jié)合（1）所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對m分兩種情況討論，在給定區(qū)間上利用函數(shù)的研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值，注意端點函數(shù)值即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

ex

x-1

∴f′（x）=

ex(x-2)

(x-1)2

，
令f′（x）=

ex(x-2)

(x-1)2

＜0?x＜2，所以函數(shù)f（x）=

ex

x-1

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減；
令f′（x）=

ex(x-2)

(x-1)2

＞0?x＞2，所以函數(shù)f（x）=

ex

x-1

在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①當(dāng)m＜2時，由于m＞1，故m+1＞2，故2∈[m，m+1]
∴函數(shù)f（x）=

ex

x-1

在區(qū)間（m，2）上單調(diào)遞減
函數(shù)f（x）=

ex

x-1

在區(qū)間（2，m+1）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（2）=e²．
②當(dāng)m≥2時，函數(shù)f（x）=

ex

x-1

在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值為f（m）=

em

m-1

．
綜上，f(x)min=

e2，(1＜m＜2) em m-1 ，(m≥2)

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的求法及其應(yīng)用；分類討論思想，關(guān)鍵熟練掌握兩個函數(shù)商的求導(dǎo)法則，求最值是注意端點函數(shù)值，是中檔題．