Question

【題目】已知常數，數列滿足，.

(1)若，，求的值；

(2)在(1)的條件下，求數列的前項和；

(3)若數列中存在三項，，(且)依次成等差數列,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，；（3）.

【解析】

（1）根據題中條件，逐項計算，即可得出結果；

（2）由（1）得到，，當時，，從而，得出，由等比數列的求和公式，即可得出結果；

（3）先由，得到數列是遞增數列，分，，三種情況，利用放縮法，以及等差中項的概念，即可得出結果.

（1）因為，，

所以，

因此，，

；

（2）因為，，

所以，當時，，從而，

于是有：；

當時，；

當時，，

所以，即，；

（3）因為，

所以，即數列是遞增數列，

①當時，有，于是有，

從而，

所以，

若數列中存在三項，，(且)依次成等差數列，

則有，即，

因為，所以，

所以不成立，因此此時數列中不存在三項，，(且)依次成等差數列；

②當時，有，

此時，

于是當時，，從而，

所以，

若數列中存在三項，，(且)依次成等差數列，

則有，同①可知：，于是有，

因為，所以，

因為是整數，所以，

于是，即與矛盾，

故此時數列中不存在三項，，(且)依次成等差數列；

③當時，有，，

于是，

，

此時數列中存在三項，，(且)依次成等差數列，

綜上，.