Question

（2012•藍山縣模擬）直線l：x-y=0與橢圓

x2

2

+y²=1相交A、B兩點，點C是橢圓上的動點，則△ABC面積的最大值為

2

．

Answer 1

分析：設過C點且與AB平行的直線L方程為 y=x+c，L與AB距離就是C點到AB的距離，也就是三角形ABC的BC邊上的高，只要L與橢圓相切，就可得L與AB最大距離，從而可得最大面積．

解答：解：直線l：x-y=0與橢圓

x2

2

+y²=1聯立，消元可得

3x2

2

=1，∴x=±

6

3

∴不妨設A（

6

3

，

6

3

），B（-

6

3

，-

6

3

）
∴|AB|=

4 3

3

設過C點且與AB平行的直線L方程為 y=x+c，L與AB距離就是C點到AB的距離，也就是三角形ABC的BC邊上的高．
只要L與橢圓相切，就可得L與AB最大距離，可得最大面積． 
y=x+c代入橢圓

x2

2

+y²=1，消元可得3y²-2cy+c²-2=0
判別式△=4c²-12（c²-2）=0，∴c=±

3

∴L與AB最大距離為

3

2

=

6

2

∴△ABC最大面積：

1

2

×

4 3

3

×

6

2

=

2

故答案為：

2

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是求出L與AB最大距離．