Question

設函數是定義在R上的增函數，且f(x)≠0，對任意x₁，x₂∈R，都有f(x₁＋x₂)＝f(x₁)·f(x₂)．

(1)求證：f(x)>0；

(2)求證：f(x₁－x₂)＝；

(3)若f(1)＝2，解不等式f(3x)>4f(x)．

Answer 1

解：(1)證明：令x₁＝x₂＝，

則f(t)＝f()·f()＝[f()]².

∵f()≠0，∴f(t)>0，即f(x)>0.

(2)證明：∵f(x₁)＝f(x₁－x₂＋x₂)

＝f(x₁－x₂)·f(x₂)．

∵f(x)≠0，∴f(x₁－x₂)＝.

(3)∵f(1)＝2，∴2f(x)＝f(1)·f(x)＝f(1＋x)，4f(x)＝2·2f(x)＝f(1)·f(x＋1)＝f(x＋2)，

則f(3x)>4f(x)即f(3x)>f(2＋x)．

∵f(x)是定義在R上的增函數．

∴3x>2＋x，∴x>1.

故不等式f(3x)>4f(x)的解集為(1，＋∞)．