Question

已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數f（x）的定義域，然后對函數f（x）求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減求出單調區間；
（2）分類討論，確定函數的單調性，從而可確定函數的最值．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=lnx-ax，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
求導函數可得f'（x）=

1

x

-2
①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜

1

2

②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞

1

2

故函數f（x）的單調遞增區間為（0，

1

2

），單調減區間是（

1

2

，+∞）．…（8分）
（2）①當

1

a

≤1，即a≥1時，函數f（x）在區間[1，2]上是減函數，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．…（10分）
②當

1

a

≥2，即a≤

1

2

時，函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．…（12分）
③當1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，函數f（x）在[1，

1

a

]上是增函數，在[

1

a

，2]上是減函數．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當

1

2

＜a＜ln2時，最小值是f（1）=-a；
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a．…（15分）
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數f（x）的最小值是-a；當a≥ln2時，函數f（x）的最小值是ln2-2a．…（16分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，正確求導，確定分類標準是關鍵．