Question

已知函數f（x）=x-1-

lnx

x

（x＞0）及h（x）=x²-1+lnx（x＞0）
（I）判斷函數h（x）在（0，+∞）上的單調性，并求出h（1）的值；
（II）求函數f（x）的單調區間及其在定義域上的最小值；
（III）是否存在實數m，n，滿足1≤m＜n，使得函數f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其導函數，利用導函數值的正負來判斷出其在（0，+∞）上的單調性，把1直接代入即可求出h（1）的值；
（II）先求出函數f（x）的導函數，并利用（I）的結論可得函數f（x）在區間（0，1）上是減函數，在區間（1，+∞）上是增函數，且在1處取最小值；
（III）由（II）的結論知，當滿足1≤m＜n，函數f（x）在[m，n]也是增函數，進而得f（m）=m，f（n）=n，轉化為函數y=f（x）與直線y=x在[1，+∞）上至少有兩個不同的交點，即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有兩個不同的零點，下面只需要研究出g（x）在[1，+∞）上有沒有兩個零點即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵h'（x）=2x+

1

x

，又因為x＞0，所以h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
即函數h（x）在（0，+∞）上是單調遞增，（2分）
且h（1）=0（4分）
（Ⅱ）f'（x）=

x2-1+lnx

x2

=

h(x)

x2

（x＞0）
由（Ⅰ）函數h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上是單調遞增，且h（1）=0可知：
當0＜x＜1時，h（x）＜0，所以有f'（x）＜0；
當x＞1時，h（x）＞0，所以有f'（x）＞0．（7分）
即函數f（x）在區間（0，1）上是減函數，在區間（1，+∞）上是增函數．（8分）
所以函數f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0（9分）
（Ⅲ）不存在（10分）
∵函數f（x）在區間（1，+∞）上是增函數，
∴當滿足1≤m＜n，函數f（x）在[m，n]也是增函數．
若函數f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]，則有f（m）=m，f（n）=n，
也即函數y=f（x）與直線y=x在[1，+∞）上至少有兩個不同的交點，
也即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有兩個不同的零點，
又g（x）=f（x）-x在區間[1，e）上是減函數，且g（1）=f（1）-1=-1，
當x∈[e，+∞）為增函數，且g（x）＜0．
∴函數g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上沒有零點，
所以不存在實數m，n，滿足1≤m＜n，使得函數f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]．（13分）

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性，是對導數知識的綜合考查，也是高考常考題型．