Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，且過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若bn=2knan，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（3）設(shè)Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差數(shù)列{c_n}的任一項c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，可解得S_n=n²+2n（n∈N^*），再由通項與前n項和間的關(guān)系求得通項．
（2）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，再結(jié)合（1）求得bn=2knan=4•(2n+1)•4n．符合等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項積的形式，用錯位相減法求解．
（3）由“Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}”求得交集，再由“c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)”可求得c₁=6．
最后由{c_n}是公差是4的倍數(shù)求得c₁₀=4m+6，則110＜c₁₀＜115求解即可．

解答：解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*），
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x²+2x求導(dǎo)可得f′（x）=2x+2
∵過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n，
∴k_n=2n+2．
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³++4×（2n+1）×4ⁿ①
由①×4，得4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴++4×（2n+1）×4ⁿ⁺¹②
①-②得：-3T_n=4[3×4+2×（4²+4³++4ⁿ）-（2n+1）×4ⁿ⁺¹]=4[3×4+2×

42(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)×4n+1]∴Tn=

6n+1

9

•4n+2-

16

9

．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴Q∩R=R．
又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小數(shù)，
∴c₁=6．
∵{c_n}是公差是4的倍數(shù)，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*）．
又∵110＜c₁₀＜115，
∴

110＜4m+6＜115 m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d=

c10-c1

10-1

=

114-6

9

=12，
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，所以{c_n}的通項公式為c_n=12n-6（14分）

點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，主要涉及了數(shù)列的通項與前n項和間的關(guān)系，錯位相減法求和等問題，屬中檔題，是常考類型．