Question

高為8的圓臺內有一個半徑為2 的球O₁，球心O₁在圓臺的軸上，球O₁與圓臺的上底面、側面都相切，圓臺內可再放入一個半徑為3的球O₂，使得球O₂與球O₁、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點，除球O₂，圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據放球的要求，加入的小球和球O₂與球O₁、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點，即加入小球的球心與O₂均勻分布在與底面距離為3，以到圓臺的軸的距離為|OO₂|=

(3+2)2-32

=4的圓周上．

解答：解：由分析可知：原問題即需要考查半徑為4的圓周上均勻分布著幾個半徑為3且不相交的圓，如圖所示，設∠POO₂=∠POO₃=α，
則sinα=

3

4

，∵

2

2

＜

3

4

＜

3

2

，
∴45°＜α＜60°，
∴90°＜2α＜120°．故圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數是2．
故選B．

點評：本題需要較強的空間想象能力和計算能力，把問題進行恰當的轉化是解決的關鍵．