Question

已知數列{a_n}，其中a₁=1，a₂=3，2a_n=a_n+1+a_n-1，（n≥2）記數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{lnS_n}的前n項和為U_n．
（Ⅰ）求U_n；
（Ⅱ）設Fn(x)=

eUN

2n(n!)2

x2n，Tn(x)=

n

i=1

F

1 k

(x)，（其中F_k¹（x）為F_k（x）的導函數），計算

lim

n→∞

Tn(x)

Tn+1(x)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由遞推關系知數列為等差數列，有等差數列前n項和公式求得Sn，進而求對數得解．
（Ⅱ）利用數列{lnS_n}的前n項和U_n，求得Fn（x），再利用導數公式求得F_n¹（x），進而求和Tn（x），最后求極限得解．

解答：解：（Ⅰ）由題意，{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列
前n項和Sn=

1+1+2(n-1)

2

•n=n2，
lnS_n=lnn²=2lnnU_n=2（ln1+ln2+…+lnn）=2ln（n!）
（Ⅱ）Fn(x)=

eUn

2n(n!)2

•x2n=

(n!)2

2n(n!)2

•x2n=

x2n

2n

F_n′（x）=x^2n-1Tn(x)=

n

k=1

Fk′(x)=

n

k=1

x2k-1=

x(1-x2n) 1-x2 (0＜x＜1) n (x=1) x(1-x2n) 1-x2 (x＞1)

lim

n→∞

Tn(x)

Tn+1(x)

=

lim n→∞ 1-x2n 1-x2n+2 =1 (0＜x＜1) lim n→∞ n n+1 =1 (x=1) lim n→∞ ( 1 x2n )-1 ( 1 x2n )-x2 (x＞1)

點評：本題主要考查等差數列的基礎知識，以及對數運算、導數運算和極限運算的能力，是一道綜合性較強的題目：注意：
（1）等差數列的判斷方法要熟練．
（2）正確求導，求極限是關鍵．