Question

已知函數f(x)=

x2

mx+n

（m，n為常數），且關于x的方程f（x）=x-12有兩個實數根x₁=3，x₂=4．
（1）求m，n的值；
（2）設t＞1，試解關于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．

Answer 1

分析：（1）欲求m，n的值，由題意得得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，根據一元二次方程根與系數的關系，可以求得兩根之積和兩根之和，即可得到一個關于m，n的方程，解方程即可求m，n的值．
（2）由（1）得f(x)=

x2

2-x

，從而關于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．化簡得即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），再對t進行分類討論，即可得出不等式的解集．

解答：解：（1）由題意得：x-12=

x2

mx+n

，
化簡得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，
又關于x的方程f（x）=x-12有兩個實數根x₁=3，x₂=4，
∴

- n-12m m-1 =7 - 12n m-1 =12

，
∴m=-1，n=2．
（2）此時，f(x)=

x2

2-x

，
∴關于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．
即（2-x）

x2

2-x

＜（t+1）x-t，
化簡得：x²-（t+1）x+t＜0（x≠2），
即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），
①當1＜t≤2時，不等式的解集為：{x|1＜x＜t}；
②當t＞2時，不等式的解集為：{x|1＜x＜t且x≠2}．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系、不等式的解法，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是經常使用的一種解題方法．