Question

已知數列{a_n}滿足：a1=

1

4

，2an+1=

a

2 n

+2an，用[x]表示不超過x的最大整數，則[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]的值等于

3

．

Answer 1

分析：由題意說明數列的項為正，化簡數列遞推關系式為的范圍，即可求出表達式的最大整數．

解答：解：因為a1=

1

4

，2an+1=

a

2 n

+2an，所以數列{a_n}各項為正，并且

1

an+2

＞0
由遞推公式2an+1=

a

2 n

+2an，移向2an+1-

a

2 n

-2an=0，
在兩邊加上a_na_n+1，并將左邊提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1
可得

1

an+2

= 

an+1-an

anan+1

= 

1

an

-

1

an+1

，
所以

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…

1

a2013

-

1

a2014

=

1

a1

-

1

a2014

＜

1

a1

=4．
又因為a1=

1

4

，a2=

9

32

，a3=

657

2048

，…，

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

＞3，
所以[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]=3
故答案為：3

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，新定義的應用，確定表達式的取值范圍是解題的關鍵，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．要注意多觀察，多思考尋找題目中隱藏的規律．