Question

（2003•朝陽區一模）已知函數f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

．
（Ⅰ）將f（x）表示成cosx的整式；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）=cos²x+a（1+cosx）-cosx-3的圖象在（0，π）內至少有一個公共點，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

通分后利用和差化積公式與二倍角的正弦、積化和差公式及二倍角的余弦化簡整理即可；
（Ⅱ）依題意，對g（x）化簡得，g（x）=（1+cosx）²+1，由f（x）=g（x）（x∈（0，π））可求得a=1+cosx+

1

1+cosx

，依題意，利用基本不等式即可求得答案．

解答：（I）解：f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

=

sin 5x 2 -sin x 2

2sin x 2

…（2分）
=

2cos 3x 2 sinx

2sin x 2

…（4分）
=

2cos 3x 2 2sin x 2 cos x 2

2sin x 2

…（6分）
=2cos

3x

2

cos

x

2

=cos2x+cosx…（8分）
=2cos²x+cosx-1．…（10分）
（II）解：令h（x）=f（x）-g（x）
=2cos²x+cosx-1-[cos²x+a（1+cosx）-cosx-3]
=cos²x+2cosx+2-a（1+cosx）
=（1+cosx）²+1-a（1+cosx）
依題意，（1+cosx）²+1-a（1+cosx）=0．
∴a=1+cosx+

1

1+cosx

，…（12分）
∵x∈（0，π），
∴0＜1+cosx＜2．
∴a≥2

(1+cosx)• 1 1+cosx

=2，當且僅當1+cosx=

1

1+cosx

，cosx=0，即x=

π

2

時，等號成立．
∴當a≥2時，y=f（x）與y=g（x）的圖象在（0，π）內至少有一個公共點．…（14分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，突出考查和差化積公式、積化和差公式與二倍角的正弦的應用，考查基本不等式，屬于難題．