Question

設滿足以下兩個條件的有窮數列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“期待數列”：①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”；
（2）若某2k+1（k∈N*）階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用新定義直接利用等差數列，寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”；
（2）利用某2k+1（k∈N^*）階“期待數列”是等差數列，通過公差為0，大于0．小于0，分別求解該數列的通項公式．
解答：解：（1）數列-，0，為三階期待數列…（1分）
數列-，-，，為四階期待數列，…..…..（3分）（其它答案酌情給分）
（2）設等差數列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴（2k+1）a₁+=0，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
當d=0時，與期待數列的條件①②矛盾，…（5分）
當d＞0時，據期待數列的條件①②得：a _k+2+a _k+3+…+a _2k+1=，
∴kd+d=，即d=
由a_k+1=0得 a _1+k•=0，即 a₁=-，
∴a_n=-+（n-1）=-（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）
當d＜0時，
同理可得
由a_k+1=0得，
∴．…（12分）
點評：本題考查新數列新定義的應用，求數列的通項公式的方法，考查分析問題解決問題的能力，難度中，考查計算能力．