Question

已知函數f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的增區間；
（3）求函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據周期的公式進行求解；
（2）利用（1）得出的正弦函數根據正弦函數增區間性質可得出所求；
（3）判斷f（x）在定義域內的增減區間來求出值域；

解答：解：
f（x）=sin2x×

1

2

+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
（1∵0∴
T=

2π

2

=π
（2）由f（x）可以看出函數f（x）的增區間為
2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]
即函數f（x）的增區間為：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]k∈Z
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
根據正弦函數的增減區間可知：
當2x+

π

4

=-

π

4

時，f（x）_min=-1；
當2x+

π

4

=

π

2

時f（x）_max=

2

；
∴f（x）∈[-1，

2

]

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的周期、定義域和值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．