Question

（1）橢圓C：+=1（a＞b＞0）與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：•為定值b²-a²．
（2）由（1）類比可得如下真命題：雙曲線C：+=1（a＞0，b＞0）與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，則為定值．請寫出這個定值（不要求給出解題過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點P（x，y），x≠±a，依題意，得A（-a，0），B（a，0），從而得直線PA的方程，繼而求得點M，N的縱坐標，得到y_My_N=，把點P（x，y），代入橢圓方程可求得y_My_N==b²，從而得=b²-a²．
（2）類比（1）的結論，可得的值．
解答：（1）證明：設點P（x，y），x≠±a，
依題意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直線PA的方程為y=（x+a）…（2分）
令x=0，得y_M=…（4分）
同理得y_N=…（6分）
∴y_My_N=，
∵點P（x，y）是橢圓C上一點，
∴=1，=（a²-），
∴y_My_N==b²，…（8分）
=（a，y_N），=（-a，y_M），
∴=-a²+y_My_N=b²-a²…（10分）
（2）-（a²+b²）…（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線、合情推理等基礎知識，考查數形結合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識，屬于難題．