Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為有界泛函．在函數
①f（x）=-5x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=(

1

2

)x，
⑤f（x）=xcosx
中，屬于有界泛函的有

①⑤

（填上所有正確的序號）．

Answer 1

分析：利用有界泛函的定義，確定M的值，若存在，即是有界泛函，否則不是有界泛函．

解答：解：①|f（x）|=5|x|，故存在M=5，對|f（x）|≤M|x|一切實數x均成立，故是有界泛函；
②|f（x）|=|x²|≤M|x|，所以|x|≤M，故不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；
③|f（x）|=|sin²x|≤1，又|f（x）|≤M|x|，故不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；
④|f（x）|=|f(

1

2

)x|≥0，又|f（x）|≤M|x|，故不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；
⑤|f（x）|=|xcosx|=|cosx||x|≤|x|，故存在M=1，對|f（x）|≤M|x|一切實數x均成立，故是有界泛函；
故答案為①⑤

點評：本題主要考查了函數的概念及其構成要素，以及函數恒成立問題等知識，屬于中檔題．