Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），焦點F到準線l的距離為2．
（1）求p的值；
（2）過點F作直線交拋物線于點A、B，交l于點M．若點M的縱坐標為-2，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)p的幾何意義，即焦點F到準線l的距離是p進行求解；
（2）由（1）和題意求出焦點F和點M的坐標，代入斜率公式求出直線AB的斜率，再代入點斜式方程求出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，消去y得到一個關(guān)于x的二次方程，求出x₁+x₂的值，再代入焦點弦公式求出|AB|．

解答：解：（1）∵焦點F到準線l的距離為2，∴p=2；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，拋物線方程為y²=4x，
∴焦點F的坐標（1，0），且M（-1，-2），
∴直線AB的斜率為kAB=

-2

-1-1

=1，
∴直線AB的方程為y=x-1，
由

y2=4x y=x-1

得，x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，
∴|AB|=x₁+x₂+p=8．

點評：本題考查直線方程、拋物線的性質(zhì)，以及直線與拋物線相交時的焦點弦長問題，屬中等難度題．