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如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，
(Ⅰ)求證：D₁C⊥AC₁；
(Ⅱ)設E是DC上一點，試確定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并說明理由．

(Ⅰ)證明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連結C₁D， ∵DC=DD₁， ∴四邊形DCC₁D₁是正方形， ∴DC₁⊥D₁C，又AD⊥DC，AD⊥DD₁，DC∩DD₁=D， ∴AD⊥平面DCC₁D₁，D₁C平面DCC₁D₁， ∴AD⊥D₁C， ∵AD，DC₁平面ADC₁，且AD∩DC₁=D， ∴D₁C⊥平面ADC₁，又AC₁平面ADC₁， ∴D₁C⊥AC₁．
(Ⅱ)解：連結AD₁，連結AE，設AD₁∩A₁D=M，BD∩AE=N，連結MN， ∵平面AD₁E∩平面A₁BD=MN，要使D₁E∥平面A₁BD，需使MN∥D₁E，又M是AD₁的中點， ∴N是AE的中點，又易知△ABN≌△EDN， ∴AB=DE，即E是DC的中點．綜上所述，當E是DC的中點時，可使D₁E∥平面A₁BD。

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科目：高中數學 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分別是棱AD，AA₁的中點，F為AB的中點．證明：
（1）EE₁∥平面FCC₁．
（2）平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

科目：高中數學 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分別是棱AD，AA₁的中點．
（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

科目：高中數學 來源： 題型：

15、如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，E，F分別是AB，BC的中點．
（1）求證：EF∥平面A₁BC₁；
（2）求證：平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁．

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁，F分別是棱AD，AA₁，AB的中點．
（1）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC，∠ABC=60°，BB₁=BC=2，M為BC中點，點N在CC₁上．
（1）試確定點N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）當AB₁⊥MN時，求二面角M-AB₁-N的正切值．

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