Question

【題目】已知線段的端點(diǎn)，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

(Ⅰ)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

(Ⅱ) 設(shè)動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線與直線關(guān)于x軸對(duì)稱.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，利用相關(guān)點(diǎn)法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，整理化簡(jiǎn)可得C的軌跡方程為；

(Ⅱ) 設(shè)，聯(lián)立直線與圓的方程可得，滿足直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，據(jù)此可得，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程，解方程有，即當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線與直線關(guān)于x軸對(duì)稱.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，點(diǎn)A在圓上，則： ，化簡(jiǎn)可得其軌跡方程為；

（Ⅱ） 設(shè)，

由得， ,

所以

若直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則，

即

所以當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.