Question

如圖已知：平面α與平面β所成角為60°，直角三角形斜邊AB在棱l上，直角邊BC，CA在平面β內，它們與平面α所成角分別為θ₁，θ₂．
求：sin²θ₁+sin²θ₂的值．

Answer 1

解：過點C作平面α的垂線，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，
過O作l的垂線，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，
所以sinθ₁=，sinθ₂=，sin60°=，
所以sin²θ₁+sin²θ₂=====sin²60°=．
分析：過點C作平面α的垂線，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，過O作l的垂線，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，再分別表示出θ₁，θ₂與∠CGO的正弦值，并且結合直角三角形的性質得到答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握線面角與二面角平面角的定義與作法，以及直角三角形的有關性質，此題綜合性較強屬于中檔題．