Question

(13分)在中學(xué)階段,對(duì)許多特定集合(如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在上定義一個(gè)運(yùn)算,記為,對(duì)于中的任意兩個(gè)元素,,規(guī)定:.

(1)計(jì)算:;

(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述運(yùn)算滿足交換律,并給出證明;

(3)若“中的元素”是“對(duì),都有成立”的充要條件,試求出元素.

 

Answer 1

【答案】

 (1) . (2)交換律:,證明見(jiàn)解析；(3) .

【解析】這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．

（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），將：（2，3）⊙（-1，4）中參與運(yùn)算的兩個(gè)元素代入易得答案．

（2）根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)、向量等的交換率，類比給出⊙運(yùn)算的交換率，結(jié)合⊙的定義，不難證明．

（3）根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合⊙的定義，不難得到一個(gè)關(guān)于I=（x，y）的方程組，解方程組，即可得到答案．

解:(1) . ………3分

(2)交換律:,       ………4分

證明如下:設(shè),,則,

==.

∴.               ………  8分                 

(3)設(shè)中的元素,對(duì),都有成立,

由(2)知只需,即 

①若,顯然有成立;     

②若,則,解得,         

∴當(dāng)對(duì),都有成立時(shí),得,

易驗(yàn)證當(dāng)時(shí),有對(duì),都有成立………13分

∴.