Question

已知一個等差數列的前10項的和是110，前20項的和是20．求此等差數列的前n項和S_n，并求出當n為何值時，S_n最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：設出等差數列的首項和公差，根據題意利用等差數列的前n項和公式列出關于首項與公差的房產證，求出方程組的解得到首項與公差的值，把首項和公差代入求和公式得到S_n關于n的二次函數，由二次項系數小于0，得到拋物線開口向下，有最大值，配方后根據二次函數取最值的方法即可得到S_n的最大值，以及此時n的值．

解答：解：設等差數列的首項為a₁，公差為d，（1分）
則

S10=10a1+45d=110 S20=20a1+190d=20

，（2分）
所以a₁=20，d=-2，
所以S_n=-n²+21n，（5分）
又Sn=-n2+21n=-(n-

21

2

)2+

441

4

，n∈N^*，
所以當n=10或n=11時，S_n最大，最大值S₁₀=S₁₁=110．（8分）

點評：此題考查了等差數列的前n項和公式，等差數列的性質，以及二次函數的性質，本題的思路為：由題意確定出首項和公差后，進而確定出求和公式S_n，利用二次函數的性質得出S_n的最大值，并求出此時n的值，特別注意n為正整數這個隱含條件．靈活運用等差數列的求和公式是解本題的關鍵．