Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，以點(diǎn)為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)。
（I）求證：點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上；
（II）設(shè)點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，是否存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

故不存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng)

解：（I）因?yàn)樵搾佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，故|FA|=4
所以，該圓的方程為
它與軸的上方交于

把中并化簡(jiǎn)得：

（1） （2） （3）

由（1）（2）（3）得
又由拋物線(xiàn)定義可得：
所以|FM|+|FN|=
而|MN|<|FM|+|FN|=8
又點(diǎn)F，M，N均在圓上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因?yàn)椋瑋AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8
所以，點(diǎn)A在以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的橢圓上， ………………8分
（II）若存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a，
則有
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由（2）（3）得
這與矛盾
故不存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項(xiàng) ………………13分