Question

選修4-1：集合證明選講
已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，CD⊥AB于點D，弦BE與CD、AC分別交于點M、N，且MN=MC
（1）求證：MN=MB；
（2）求證：OC⊥MN．

Answer 1

分析：（1）連結AE，BC，根據直徑所對的圓周角是直角，得∠AEB=90°，根據等量代換得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性質即可得出MB=MC，從而得到MN=MB；
（2）設OC∩BE=F，根據OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代換得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可證出結論．

解答：證明：（Ⅰ）連結AE，BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°
∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC
又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN
∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，
∴MB=MC，
∴MN=MB．…（5分）
（Ⅱ）設OC∩BE=F，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…（10分）

點評：本小題主要考查與圓有關的比例線段、圓的性質的應用等基礎知識，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．