Question

已知函數f（x）=ln．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（II）判斷y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形，若是求出對稱中心并證明，否則說明理由；
（III）設g（x）的定義域為D，是否存在[a，b]⊆D．當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[]，若存在，求實數a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

20．解：（I） ．注意到，即x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
由得x=6或x=0．所以當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（0）=ln是f（x）的一個極大值，f（6）=ln2+ 是f（x）的一個極大值．．
（II） 點（0，f（0）），（6，f（6））的中點是（3，），所以f（x）的圖象的對稱中心只可能是（3，）．
方程（曲線）觀點要證f（x）的圖象關于（3，）對稱，只需證明點Q也在y=f（x）上，即證y₀=f（x₀）
設P（x，y）為f（x）的圖象上一點，P關于（3，）的對稱點是Q（x₀，y₀），
因，又
所以，
即點Q（x₀，y₀）也在函數y=f（x）的圖象上．
（III） 假設存在實a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，當x∈[a，b]時，f（x）≤f（0）=ln＜0，而∴．故不可能…
若4＜a≤6，當x∈[a，b]時，f（x）≥f（6）=ln2+＞，而∴f（x）≠．故不可能…．
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（6，+∞），知a，b是f（x）=的兩個解．而f（x）-=無解．故此時f的取值范f（x）圍是不可能是[]．
綜上所述，假設錯誤，滿足條件的實數a、b不存在．
分析：（I）利用導數的運算法則求出導函數，利用極值點處的導數為0，列出表格判斷即可求出結果．
（II） 點（0，f（0）），（6，f（6））的中點是（3，），所以f（x）的圖象的對稱中心只可能是（3，）．方程（曲線）觀點要證f（x）的圖象關于（3，）對稱，只需證明點Q也在y=f（x）上，即證y₀=f（x₀）即可．
（III）假設存在實a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．討論0≤b＜2，4＜a≤6，a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調遞增區間是（-∞，0），（6，+∞），
推出f（x）的取值范圍是不可能是[]．因而滿足條件的實數a、b不存在．
點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0、考查利用導數求函數的單調區間及極值，對稱性問題的處理方法；注意題目中所應用的函數的思想，分類討論的思想，函數的值域問題，利用函數的單調性驗證方程解的情況．