Question

已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，求證

1

|FA|

+

1

|FB|

為定值．

Answer 1

分析：設過焦點F的直線方程為 y=k（x-

p

2

） 與y²=2px聯立消y得k2(x-

p

2

)2=2px，k2x2-(k2p+2p)x+

p

4k2

=0，再由根與系數的關系能夠求出

1

|FA|

+

1

|FB|

=

|FA|+|FB|

|FA|•|FB|

的值．

解答：證明：設過焦點F的直線方程為 y=k（x-

p

2

） 與y²=2px聯立消y得k2(x-

p

2

)2=2px，
∴k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，
∴x1+x2=

k2p+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

．
∴|FA|=x1+

p

2

，|FB|=x2+

p

2

，
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

|FA|+|FB|

|FA|•|FB|

=

x1+x2+p

(x1+ p 2 ) (x2+ p 2 )

=

2

p

．

點評：本題考查拋物線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．