Question

設函數。

（1）如果，求函數的單調遞減區間；

（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）證明：當時，

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的單調減區間為.（2）.（3）分析法

【解析】

試題分析：首先求導數，

討論得到當時， ，確定函數的單調減區間為.

（2）注意討論①當時，情況特殊；②當時，令，求駐點，討論時，得函數的增區間為；

根據函數在區間上單調遞增，得到，得出所求范圍..

（3）利用分析法，轉化成證明；

構造函數，

應用導數知識求解

試題解析：（1）函數的定義域為，

當時，

時，，所以，函數的單調減區間為.

（2）①當時，，所以，函數的單調增區間為；

②當時，令，得，

當時，得，函數的增區間為；

又因為，函數在區間上單調遞增，

所以，，得，綜上知，.

（3）要證：只需證

只需證

設，                                     

則             11分

由（1）知：即當時，在單調遞減，

即時，有，         12分

∴，所以，即是上的減函數，   13分

即當，∴，故原不等式成立。         14分

考點：應用導數研究函數的單調性、證明不等式.