Question

數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使不等式a_n≥m成立中的所有n中的最小值
（Ⅰ）若正項數列{a_n}前n和為S_n，是與（a_n+1）²的等比中項，求a_n及b_n通項；
（Ⅱ）若數列{a_n}通項為a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*），如果存在，求出p和q的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題中已知條件結合數列的基本性質便可求出數列an的通項公式，然后利用題中關于bn的定義便可求出數列分別討論n為奇數和偶數時bn的表達式便可求得bn的通項公式；
（Ⅱ）存在，根據題中條件先求出p、q與m的關系可知3p-1＞0（或3p-1＜0）不符合條件，然后3p-1=0便可求出p值，進而求得q的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由于是與（a_n+1）²的等比中項，∴
當n=1時，，∴a₁=1，（2分）
當n≥2時，，由a_n＞0，化簡有a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是等差數列，a_n=2n-1，檢驗當n=1時也適合，即a_n=2n-1（5分）
對于正整數，由a_n≥m，得．
根據b_m的定義可知：當m=2k-1時，b_m=k（k∈N^*）；當m=2k時，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴（9分）
（Ⅱ）假設存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0，得：．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根據b_m的定義可知，對于任意的正整數m 都有，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q對任意的正整數m都成立．
當3p-1＞0（或3p-1＜0）時，得（或），
這與上述結論矛盾！（13分）
當3p-1=0，即時，得，解得．
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；
p和q的取值范圍分別是，．（16分）
點評：本題主要考查了考查了數列的遞推公式，學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，是各地高考的熱點，屬于中檔題．